Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，DE是正三角形ABC的中位線．動點M，N分別從D、E出發(fā)，沿著射線DE與射線EB方向移動相同的路程，連結(jié)AM，DN交于P點．則下列結(jié)論：①ac=-3；②AM=DN；③無論M，N處何位置，∠APN的大小始終不變． 其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 首先證明b=0，再根據(jù)OC=$\sqrt{3}$OB列出等式即可證明①正確，由△ADM≌△DEN，AM=DN，∠M=∠N，再根據(jù)“8字型”證明∠NPK=∠MEK即可解決問題．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，OC⊥AB，
∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，
∴OC是拋物線對稱軸，
∴b=0，
∴拋物線解析式為y=ax²+c，
∴點B坐標（$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），
∵tan∠BCO=$\frac{OB}{CO}$=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$$•\sqrt{\frac{-c}{a}}$，
∴c²=$\frac{-3c}{a}$，
∵c≠0，
∴ac=-$\sqrt{3}$，故①正確．
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=AD，DE∥AB，
∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，
∴∠ADM=∠DEN=120°，
在△ADM和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADM=∠DEN}\\{DM=EN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DEN，
∴AM=DN，∠M=∠N，故②正確．
設(shè)AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，
∴∠MEK=∠NPK，
∵∠MEK=∠CED=60°，
∴∠NPK=60°，
∴∠APN=180°-∠NPK=120°，
∴∠APN的大小不變，故③正確．
故選D．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形中30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是（1）證明OC=$\sqrt{3}$OB，（2）證明△ADM≌△DEN，屬于中考�？碱}型．