Question

19．如圖，對(duì)稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$的拋物線經(jīng)過(guò)B（2，0），C（0，4）兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱軸的對(duì)稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可．

解答 解：（1）由對(duì)稱性得：A（-1，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，4）代入：4=-2a，
a=-2，
∴y=-2（x+1）（x-2），
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+2x+4；
（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)P（m，-2m²+2m+4），過(guò)P作PD⊥x軸，垂足為D，
∴S=S_梯形+S_△PDB=$\frac{1}{2}$m（-2m²+2m+4+4）+$\frac{1}{2}$（-2m²+2m+4）（2-m），
S=-2m²+4m+4=-2（m-1）²+6，
∵-2＜0，
∴S有最大值，則S_大=6．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)；考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合，進(jìn)一步把函數(shù)簡(jiǎn)單化．