Question

6．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD=BC，點Q是CA邊上一個動點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M為拋物線的對稱軸上一個動點，求點M的坐標使MQ+MA的值最�。�

Answer 1

分析 （1）由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設拋物線對稱軸于x軸交點為N，過點B作BQ⊥AC于點Q，交拋物線對稱軸于點M，此時MQ+MA的值最�。�根據(jù)角的計算找出∠MBN=∠ACO，∠COA=∠BNM=90°，從而得出△COA∽△BNM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結合點A、B、C的坐標即可得出點M的坐標．

解答 解：（1）將點A（-3，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+4中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+4}\\{0=16a+4b+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4．
（2）設拋物線對稱軸于x軸交點為N，過點B作BQ⊥AC于點Q，交拋物線對稱軸于點M，此時MQ+MA的值最小，如圖所示．
令y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點C（0，4），
∵A（-3，0），B（4，0），
∴AC=5，AO=3，CO=4，BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{7}{2}$，ON=OB-BN=$\frac{1}{2}$．
∵∠CAO=∠BAC，∠ACO+∠CAO=90°，∠MBN+∠BAC=90°，
∴∠MBN=∠ACO，
∵∠COA=∠BNM=90°，
∴△COA∽△BNM，
∴$\frac{MN}{BN}=\frac{AO}{OC}$，
∴MN=$\frac{21}{8}$，
∴點M（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）．
故當點M的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）時，MQ+MA的值最�。�

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析、軸對稱中的最短路線問題以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）找出點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用點與直線之間垂線段最短確定點M的位置是關鍵．