Question

【題目】如圖，，，三點在上，直徑平分，過點作交弦于點，在的延長線上取一點，使得.

（1）求證：是的切線；

（2）連接AF交DE于點M，若AD=4，DE=5，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

（1）先得出∠ABD=∠CBD，進而得出OD⊥DF，即可得出結論；

（2）連接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，進而解答即可．

（1）證明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD．

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE．

∴∠CBD=∠BDE．

∵ED=EF，

∴∠EDF=∠EFD．

∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，

∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．

∴OD⊥DF．

∵OD是半徑，

∴DF是⊙O的切線．

（2）解：連接DC，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=∠BCD=90°．

∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD．

∴CD=AD=4，AB=BC．

∵DE=5，

∴CE＝＝3，EF=DE=5．

∵∠CBD=∠BDE，

∴BE=DE=5．

∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．

∴AB=8．

∵DE∥AB，

∴△ABF∽△MEF．

∴．

∴ME=4．

∴DM=DE-EM=1．