【題目】在矩形中,為邊上一點,.將沿翻折得到,的延長線交邊于點,過點作交于點.連接,分別交,于點,.現(xiàn)有以下結(jié)論:①連接,則垂直平分;②四邊形是菱形;③;④若,則.其中正確的結(jié)論是________(填寫所有正確結(jié)論的序號).
【答案】①②③
【解析】
①連接,根據(jù)翻折的性質(zhì),結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
②DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由題意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,即∠ABP=∠MPB,從而可知PM=MB=AM,又易證四邊形PMBN是平行四邊形,所以四邊形PMBN是菱形;
③過點P作PG⊥AB于點G,易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易證△APG∽△PBG,所以PG2=AGGB,即AD2=DPPC;
④由于,可設DP=1,AD=2,由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=2,從而求出GB=PC=4,AB=AG+GB=5,由于CP∥AB,從而可證△PCF∽△BAF,△PCE∽△MAE,從而可得,,從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,從而可得.
①根據(jù)翻折的性質(zhì)可得,AD=A,∠DAP=∠AP,
連接,根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得,垂直平分.
②∵DP∥AB,
∴∠DPA=∠PAM,
由題意可知:∠DPA=∠APM,
∴∠PAM=∠APM,
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM,PM=MB,
∴PM=MB,
又易證四邊形PMBN是平行四邊形,
∴四邊形PMBN是菱形;
③過點P作PG⊥AB于點G,
∴易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形,
∴AD=PG,DP=AG,GB=PC
∵∠APB=90°,
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,
∴∠APG=∠PBG,
∴△APG∽△PBG,
∴,
∴PG2=AGGB,
即AD2=DPPC;
④由于,
可設DP=1,AD=2,
由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=2,
∵PG2=AGGB,
∴4=1GB,
∴GB=PC=4,
AB=AG+GB=5,
∵CP∥AB,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
又易證:△PCE∽△MAE,AM=AB=,
∴
∴,
∴EF=AF-AE=AC-AC=AC,
∴.
故答案為:①②③.
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【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過,兩點,與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連結(jié)CD.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合),設點P的橫坐標為t.
①當點P在直線BC的下方運動時,求的面積的最大值;
②該拋物線上是否存在點P,使得若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知頂點為的拋物線過點,交軸于兩點,交軸于點,點是拋物線上一動點.
求拋物線的解析式;
當點在直線上方時,求面積的最大值,并求出此時點的坐標;
過點作直線的垂線,垂足為,若將沿翻折點的對應點為點.是否存在點,使恰好落在軸上?若存在,求出點的坐標:若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點P在BC上.
(1)求作:△PCD,使點D在AC上,且△PCD∽△ABP;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC,求證:PD//AB.
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【題目】為了落實黨的“精準扶貧”政策,A、B兩城決定向C,D兩鄉(xiāng)運送肥料以支持農(nóng)村生產(chǎn),已知A、B兩城共有肥料500噸,其中A城肥料比B城少100噸,從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為20元/噸和25元/噸:從B城往C,D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為15元/噸和24元/噸,現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸,D鄉(xiāng)需要肥料260噸.
(1)A城和B城各有多少噸肥料?
(2)設從A城運往C鄉(xiāng)肥料x噸,總運費為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)怎樣調(diào)運才能使總運費最少?并求最少運費.
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【題目】如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,點的坐標為,點的坐標為.有一寬度為1,長度足夠長的矩形(陰影部分)沿軸方向平移,與軸平行的一組對邊交拋物線于點和點,交直線于點和點,交軸于點和點.
(1)求拋物線的解析式及點的坐標;
(2)當點和都在線段上時,連接,如果,求點的坐標;
(3)在矩形的平移過程中,是否存在以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,,,三點在上,直徑平分,過點作交弦于點,在的延長線上取一點,使得.
(1)求證:是的切線;
(2)連接AF交DE于點M,若AD=4,DE=5,求DM的長.
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【題目】如圖,某中心廣場燈柱AB被鋼纜CD固定,已知CB=5米,且sin∠DCB=.
(1)求鋼纜CD的長度。
(2)若AD=2米,燈的頂端E距離A處1.6米,且∠EAB=120°,則燈的頂端E距離地面多少米?
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【題目】2019年3月25日是第二十四個“全國中小學生安全教育日”,某校為加強學生的安全意識,以“防火、防溺水、防食物中毒、防校園欺凌”為主題組織了全校學生參加安全知識競賽,從中抽取了部分學生成績(得分為正整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計,繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,如圖所示.
(1)學校共抽取了______名學生,_____,n=______.
(2)補全頻數(shù)直方圖;
(3)該校共有2000名學生。若成績在70分以下(含70分)的學生安全意識不強,有待進一步加強安全教育,則該校安全意識不強的學生約有多少人?
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