Question

【題目】如圖拋物線的開口向下與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，若的面積為12，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；（3）點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入求出a，b即可；

（2）如圖作輔助線，根據(jù)S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12求出HP＝4，由直線AC的表達(dá)式為y＝x＋6可得直線m的表達(dá)式，然后求出直線m和拋物線的交點(diǎn)即可得到兩個P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得直線n的表達(dá)式，進(jìn)而得出另外兩個P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）首先證明∠ACD＝90°，可得sin∠DAC＝，然后作輔助線構(gòu)造三角形，求出sin2∠DAC＝，進(jìn)而可得tan∠EAB＝，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時，求出直線AE的表達(dá)式即可解決問題，②當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時，同理計算即可．

解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入得：/span>，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖1所示，過點(diǎn)P作直線m∥AC交拋物線于點(diǎn)P′，在直線AC下方等距離處作直線n交拋物線于點(diǎn)P″、P′″，過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，作PG⊥AC于點(diǎn)G，

∵拋物線的解析式為：，

∴C（0，6），

∴OA＝OC，

∴∠PHG＝∠ACB＝45°，則HP＝PG，

∴S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12，

解得：HP＝4，

易得直線AC的表達(dá)式為：y＝x＋6，

則直線m的表達(dá)式為：y＝x＋10，

聯(lián)立，解得：或，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，8）或（4，6）；

同理可得，直線n的表達(dá)式為：y＝x＋2，點(diǎn)P（P″、P′″）的坐標(biāo)為（3，1）或（3＋，1），

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；

（3）∵，

∴D（2，8），

∵點(diǎn)A（6，0）、B（2，0）、C（0，6），

∴AC2＝，CD2＝，AD2＝，

∴AC2＋CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴sin∠DAC＝，

如圖2，延長DC至D′使CD＝CD′，連接AD′，過點(diǎn)D作DH⊥AD′，

則DD′＝2CD＝，AD＝AD′＝，

∵S△ADD′＝×DD′×AC＝DH×AD′，

∴××＝DH×，

解得：DH＝，

∴sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝，

易得tan∠EAB＝，

①當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時，如圖3，

設(shè)直線AE交y軸于F，

則tan∠EAB＝，

∴OF＝，即F（0，），

設(shè)直線AE的表達(dá)式為：y=kx+，

代入A（－6，0）解得：，

∴直線AE的表達(dá)式為：y＝x＋，

聯(lián)立，解得：或，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時，

同理可得：點(diǎn)E（，），

綜上，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）或（，）．