Question

20．如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的邊長；
（2）如圖2，在BC邊上放兩個小正方形DEFG、FGMN，則DE=$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 （1）過點作AM⊥BC于點M，由AB=AC=10，BC=16，根據(jù)等腰三角形的性質與勾股定理，即可求得AM的長，又由四邊形DEFG是矩形，易證得△ADG∽△ABC，設MN=DE=x，由相似三角形對應高的比等于相似比，即可得方程$\frac{DG}{6}=\frac{4-x}{4}$，則可表示出DG的長，由正方形的性質可得DE=DG，可得結果；
（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：$\frac{2DE}{BC}=\frac{4-DE}{4}$，即可得到結論．

解答 解：過點作AM⊥BC于點M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，
∴MN=DE，
設MN=DE=x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，
∴$\frac{DG}{6}=\frac{4-x}{4}$，
解得：DG=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴DE=DG，即x=-$\frac{3}{2}$x+6，
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴正方形DEFG的邊長為$\frac{12}{5}$；

（2）由題意得：DN=2DE，
由（1）知：$\frac{2DE}{BC}=\frac{4-DE}{4}$，
∴DE=$\frac{12}{7}$．
故答案為：$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查了正方形的性質、平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質，相似三角形對應高的比等于相似比．