Question

7．已知，如圖1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2$\sqrt{2}$，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若等腰Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AB₁C₁，設(shè)旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜360°），記直線DB₁與EC₁的交點(diǎn)為P．
（1）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，直線DB₁與EC₁的位置關(guān)系是DB₁⊥EC₁
（2）如圖3，當(dāng)α=90°時(shí)，求點(diǎn)P到直線AD的距離；
（3）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P到直線AD的距離是否存在最大值？若存在，求出P點(diǎn)到直線AD的最大距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠B₁AD=C₁AE，根據(jù)題意可證明△B₁AD≌△C₁AE，所以∠AB₁D=∠AC₁E，從而可知∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以DB₁⊥EC₁；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，可知△B₁AD≌△C₁AE，從而∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以易證△B₁PE∽△C₁AE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PE的長(zhǎng)度，再證明△C₁AE∽△C₁FP，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PF的長(zhǎng)度；
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠EPD始終保持為90°，點(diǎn)P在以ED為直徑的圓上，又因?yàn)椤螮AD=90°，點(diǎn)P在△EAD的外接圓上，即當(dāng)PF過ED的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線AD的距離最大．

解答 解：（1）當(dāng)α=135°時(shí)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠B₁AD=C₁AE=135°，
∵△ADE與△ABC是等腰直角三角形，
∴AB₁=AC₁，AD=AE，
在△B₁AD與△C₁AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=A{C}_{1}}\\{∠{B}_{1}AD=∠{C}_{1}AE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴DB₁⊥EC₁，
故答案為：DB₁⊥EC₁；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，
由（1）可知：∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴△B₁PE∽△C₁AE，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{B}_{1}E}=\frac{AE}{PE}$，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=B₁E=$\frac{1}{2}$AC₁=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：C₁E=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{PE}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴C₁P=C₁E+PE=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∵PF∥AE，
∴△C₁AE∽△C₁FP，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{C}_{1}P}=\frac{AE}{PF}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\frac{6}{5}\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{PF}$，
∴PF=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$；

（3）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠B₁AD=C₁AE，
∴△B₁AD≌△C₁AE，
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴∠EPD=90°，
∴點(diǎn)P在以ED為直徑的圓上，
∵∠EAD=90°，
∴點(diǎn)P在△EAD的外接圓上，如圖4，
∴當(dāng)PF過ED的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線AD的距離最大，
設(shè)ED的中點(diǎn)為O，
∵∠EDA=45°，
∴OF=FD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=AE=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：ED=2，
∴OP=$\frac{1}{2}ED$=1，
∴PF=OP+OF=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P點(diǎn)到直線AD的最大距離為1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的綜合問題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．