Question

7．已知，如圖1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2$\sqrt{2}$，D、E分別是AB、AC的中點，若等腰Rt△ABC繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AB₁C₁，設旋轉角α（0＜α＜360°），記直線DB₁與EC₁的交點為P．
（1）如圖2，當α=135°時，直線DB₁與EC₁的位置關系是DB₁⊥EC₁
（2）如圖3，當α=90°時，求點P到直線AD的距離；
（3）當△ABC繞點A逆時針旋轉一周時，點P到直線AD的距離是否存在最大值？若存在，求出P點到直線AD的最大距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉的性質可知：∠B₁AD=C₁AE，根據題意可證明△B₁AD≌△C₁AE，所以∠AB₁D=∠AC₁E，從而可知∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以DB₁⊥EC₁；
（2）過點P作PF⊥AD于點F，可知△B₁AD≌△C₁AE，從而∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以易證△B₁PE∽△C₁AE，利用相似三角形的性質即可求出PE的長度，再證明△C₁AE∽△C₁FP，利用相似三角形的性質即可求出PF的長度；
（3）在旋轉的過程中，∠EPD始終保持為90°，點P在以ED為直徑的圓上，又因為∠EAD=90°，點P在△EAD的外接圓上，即當PF過ED的中點時，點P到直線AD的距離最大．

解答 解：（1）當α=135°時，
由旋轉的性質可知：∠B₁AD=C₁AE=135°，
∵△ADE與△ABC是等腰直角三角形，
∴AB₁=AC₁，AD=AE，
在△B₁AD與△C₁AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=A{C}_{1}}\\{∠{B}_{1}AD=∠{C}_{1}AE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴DB₁⊥EC₁，
故答案為：DB₁⊥EC₁；

（2）過點P作PF⊥AD于點F，
由（1）可知：∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴△B₁PE∽△C₁AE，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{B}_{1}E}=\frac{AE}{PE}$，
∵點E是AC的中點，
∴AE=B₁E=$\frac{1}{2}$AC₁=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：C₁E=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{PE}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴C₁P=C₁E+PE=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∵PF∥AE，
∴△C₁AE∽△C₁FP，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{C}_{1}P}=\frac{AE}{PF}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\frac{6}{5}\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{PF}$，
∴PF=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$；

（3）當△ABC繞點A逆時針旋轉一周時
由旋轉的性質可知：∠B₁AD=C₁AE，
∴△B₁AD≌△C₁AE，
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴∠EPD=90°，
∴點P在以ED為直徑的圓上，
∵∠EAD=90°，
∴點P在△EAD的外接圓上，如圖4，
∴當PF過ED的中點時，點P到直線AD的距離最大，
設ED的中點為O，
∵∠EDA=45°，
∴OF=FD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=AE=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：ED=2，
∴OP=$\frac{1}{2}ED$=1，
∴PF=OP+OF=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P點到直線AD的最大距離為1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查旋轉的綜合問題，涉及旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識，考查學生綜合運用知識的能力．