Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點(diǎn)E為直線BC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，問是否存在點(diǎn)E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，利用對(duì)稱軸可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AD²、AC²和CD²，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD為直角三角形，則可求得其面積；
（3）根據(jù)題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，可知DF∥x軸，則可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，可求得直線AD解析式，聯(lián)立直線AC和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入直線BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0-2）²-1=3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；
（2）在y=x²-4x+3中，令y=0可得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=-1，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，此時(shí)y=-2+3=1，
∴D（2，1），
∴AD²=2，AC²=10，CD²=8，
∵AD²+CD²=AC²，
∴△ACD是以AC為斜邊的直角三角形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=2；
（3）由題意知EF∥y軸，則∠FED=∠OCB≠90°，
∴△DEF為直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，
①當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標(biāo)相同，
∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴x²-4x+3=1，解得x=2±$\sqrt{2}$，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2±$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)E在直線BC上，
∴當(dāng)x=2+$\sqrt{2}$時(shí)，y=-x+3=1-$\sqrt{2}$，當(dāng)x=2-$\sqrt{2}$時(shí)，y=-x+3=1+$\sqrt{2}$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）；
②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，
∵A（1，0），D（2，1），
∴直線AD解析式為y=x-1，
∵直線BC解析式為y=-x+3，
∴AD⊥BC，
∴直線AD與拋物線的交點(diǎn)即為E點(diǎn)，
聯(lián)立直線AD與拋物線解析式有x²-4x+3=x-1，解得x=1或x=4，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2，當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+3=-1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（4，-1），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）或（1，2）或（4，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、直角三角形的判定及性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意拋物線三種形式的解析式的靈活運(yùn)用，在（2）中求得AD、AC、CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．