Question

7．如圖所示，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，P是BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分別為E，F(xiàn)
（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？
（2）在（1）中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，矩形PEMF變?yōu)檎�方形？為什么�?

Answer 1

分析 （1）若AD=2AB，加上M點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則AB=AM=DM=CD，于是可判斷△ABM和△CDM為全等的等腰直角三角形，易得∠BAC=90°，然后利用∠PEM=∠PFM=90°可判斷四邊形PEMF為矩形；
（2）若P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則MP為等腰三角形MBC的頂角的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PE=PF，然后根據(jù)正方形的判定方法可判斷矩形PEMF變?yōu)檎�方形�?/p>

解答 解：（1）矩形ABCD的長與寬滿足AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．理由如下：
∵AD=2AB，M點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△CDM為全等的等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，∠DMC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°，
∴四邊形PEMF為矩形；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，矩形PEMF變?yōu)檎�方形．理由如下�?br />∵P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴MP為等腰三角形MBC的頂角的平分線，
∴PE=PF，
∴矩形PEMF變?yōu)檎�方形�?/p>

點(diǎn)評 本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．也考查了矩形的判定于性質(zhì)．