Question

16．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)E，使CE=AC，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DF，且DF與AC交于P點(diǎn)．
（1）判斷BF與DF的位置關(guān)系；
（2）若∠E=5∠FDB，試判斷△DOC的形狀；
（3）在（2）的條件下，求$\frac{AP}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）BF⊥DF，理由是：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明BF=FM，在等腰三角形BDM中，根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠FDB=x，則∠FBD=∠E=∠M=5x，在△MBD中根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程求出x的值，得出△DOC是等邊三角形；
（3）先證明△APQ是等邊三角形得AP=AQ，設(shè)CD=x，則AC=2x，AD=$\sqrt{3}$x，根據(jù)同角的三角函數(shù)列比例式$\frac{BE}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，表示出AQ，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半表示出AF的長，最后計(jì)算比值即可．

解答 解：（1）BF⊥DF，理由是：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴MD∥BC，
∴∠M=∠EBF，∠MAF=∠AEB，
∵AF=EF，
∴△AFM∽△EFB，
∴AM=BE，BF=FM，
∵AD=BC，
∴AD+AM=BC+BE，
即DM=CE，
∵CE=AC，AC=BD，
∴BD=DM，
∵BF=FM，
∴BF⊥DF；
（2）在Rt△ABE中，
∵F是AE的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=AF=EF，
∴AF=FE=BF=FM，
∴∠AMF=∠FAM=∠E=∠FBD，
設(shè)∠FDB=x，則∠FBD=∠E=∠M=5x，
在△MBD中得：5x+5x+2x=180，
∴x=15，
∴∠ADB=2x=30°，
∴∠ODC=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形；
（3）∵△OCD是等邊三角形；
∴∠CPD=∠PDC=∠PCD=60°，
∴∠APQ=60°，
∵AB∥CD，
∴∠QAP=∠PCD=60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP=AQ，
設(shè)CD=x，則AC=2x，AD=$\sqrt{3}$x，
∴BE=EC-BC=2x-$\sqrt{3}$x，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-\sqrt{3}x）^{2}}$=（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）x，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）x}{2}$，
∵AC=EC，
∴∠E=∠EAC=$\frac{180-30}{2}$=75°，
∴∠EAB=15°，
∴tan∠EAB=tan∠QDA，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{2x-\sqrt{3}x}{x}=\frac{AQ}{\sqrt{3}x}$，
∴AQ=（2$\sqrt{3}$-3）x
∴$\frac{AP}{AF}$=$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{（2\sqrt{3}-3）x}{\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）x}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大；尤其是等腰三角形角度的變化較多，要認(rèn)真書寫；在幾何證明中，如果求兩條線段的比值時(shí)，而已知中沒有任何一邊的長度時(shí)，可以設(shè)一邊為x，將其它各邊分別用x的式子表示，也可以相應(yīng)求出比值．