Question

10．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C、E在圓上，且點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，OE交弦BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在OE的延長(zhǎng)線上，且∠BCF=∠BAC，BC=8，DE=2．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，利用同圓的半徑相等和直徑所對(duì)的圓周角為直角得∠OCF=90°，CF是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程解出即可；
（3）證明△OCD∽△CFD，列比例式可求CF的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=∠1+∠2=90°，
∴∠A+∠2=90°，
∵∠A=∠3，
∴∠2+∠3=90°，即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OD=r-2，
∵E是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
由勾股定理得：r²=4²+（r-2）²，
r=5，
則⊙O的半徑為5；
（3）∵∠2+∠3=90°，∠COF+∠2=90°，
∴∠3=∠COF，
∵∠CDO=∠CDF=90°，
∴△OCD∽△CFD，
∴$\frac{OC}{CF}=\frac{OD}{CD}$，
∴$\frac{5}{CF}$=$\frac{5-2}{4}$，
∴CF=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，證明某線是圓的切線是�？碱}型，思路為已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可；在圓中求線段的長(zhǎng)有兩種常用的方法，一個(gè)是勾股定理；另一個(gè)是證明所在的三角形相似，利用比例式求解．