Question

5．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，在BC上取BE=BO，連結(jié)AE，且∠BOE=75°．
（1）求∠ABO的度數(shù)；
（2）求∠CAE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBE=30°，則求該角的余角即可；
（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OB，然后求出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BO，∠BAO=60°，再判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠BAE=45°，然后根據(jù)∠CAE=∠BAO-∠BAE計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°-2×75°=30°，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°；

（2）由（1）知，∠ABO=60°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=BO，∠BAO=60°，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出等邊三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．