Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，將線段AB平移至DE，連接AE、AD、EC．
（1）求證：AD=EC；
（2）當點D是BC的中點時，求證：四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證得△ACD≌△ECD后即可證得AD=EC；
（2）當點D是BC中點時，四邊形ADCE是矩形；首先證得四邊形ADCE是平行四邊形，然后證得AD⊥BC即可利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．

解答 （1）證明：∵將線段AB平移至DE，
∴AB=DE，AB∥DE．
∴∠EDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB，DE=AC
∴∠EDC=∠ACB，
在△ADC與△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DE}\\{∠EDC=∠ACB}\\{DC=CD}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴AD=EC；

（2）∵將線段AB平移至DE，
∴AB=DE，AB∥DE．
∴四邊形ABDE為平行四邊形．
∴BD=AE，
∵點D是BC的中點．
∴BD=DC，
∴AE=DC，
∵AD=EC，
∴四邊形ADCE為平行四邊形．
∵AB=AC，點D是BC的中點
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

點評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠正確的結(jié)合圖形理解題意是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．