Question

8．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，⊙O的半徑為1，點P是AB
邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質得到OQ與PQ垂直，利用勾股定理列出關系式，由OP最小時，PQ最短，根據垂線段最短得到OP垂直于AB時最短，利用面積法求出此時OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．

解答 解：連接OP、OQ，如圖所示，
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
根據勾股定理知：PQ²=OP²-OQ²，
∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OP，即OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=2$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案為$\sqrt{7}$．

點評 此題考查了切線的性質，勾股定理的應用，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵，注意：圓的切線垂直于過切點的半徑．