Question

15．如圖，△ABC的邊AB為⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，D為BC的中點，過點D作DE⊥AC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=13，BC=10，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）證明OD∥AC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解決問題．
（2）證明AC=AB=13；證明△CDE∽△CAD，得到$\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{AC}$，求出CE的長即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OD
∵D為BC的中點，O為AB的中點，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是圓O的切線．

（2）解：連接 AD
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC；
∵D為BC的中點，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AC=AB=13；
∵∠C=∠C，∠DEC=∠ADC=90°，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{EC}{CD}$=$\frac{DC}{AC}$，而AC=AB=13，CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴CE=$\frac{25}{13}$．

點評 此題主要考查了切線的判定、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準確找出切線的判定方法，靈活運用三角形的中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、解答．