Question

【題目】如圖，AB是△ACD的外接圓⊙O的直徑，CD交AB于點F，其中AC=AD，AD的延長線交過點B的切線BM于點E．

（1）求證：CD∥BM；

（2）連接OE交CD于點G，若DE=2，AB=4，求OG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OG=．

【解析】

（1）根據垂徑定理得AB⊥CD，結合切線的性質，得AB⊥BM，進而即可得到結論；

（2）連接BD，證明BAD~EAB，易得AB2=ADAE，從而求出AE=10，根據勾股定理得BE=2，OE=2，由DF∥BE，根據平行線分線段成比例定理可得AF=，OF=，由FG∥BE，根據平行線分線段成比例定理即可求解．

（1）∵AB是△ACD的外接圓⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，

∴AB⊥BM，

∵AC=AD，

∴，

∴AB⊥CD，

∴CD∥BM；

（2）連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BD⊥AE，

∵AB⊥BE，

∴∠ADB=∠ABE=90°，

又∵∠BAD=∠EAB，

∴BAD~EAB，

∴AB2=ADAE，

∴(4)2=AD(AD+2)，

∴AD=8或AD=-10（舍去），

∴AE=10，

∴BE===2，

∴OE==2，

∵DF∥BE，

∴=，

∴=，

∴AF=，

∴OF=AF－OA=，

∵FG∥BE，

∴=，

∴=，

∴OG=．