Question

15．設(shè)ω是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過(guò)有限步作圖（簡(jiǎn)稱(chēng)尺規(guī)作圖），畫(huà)出一個(gè)正方形與ω的面積相等（簡(jiǎn)稱(chēng)等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱(chēng)為ω的“化方”．

（1）閱讀填空
如圖①，已知矩形ABCD，延長(zhǎng)AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓，延長(zhǎng)CD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFFH與ABCD等積．
理由：連接AH，EH．
∵AE為直徑∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}$=$\frac{DH}{DE}$，即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC∴DH²=AD•DC．即正方形DFGH與矩形ABCD等積．
（2）類(lèi)比思考
平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正方形．
（3）解決問(wèn)題
三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的矩形（填寫(xiě)圖形各稱(chēng)），再轉(zhuǎn)化為等積的正方形．
如圖②，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)用尺規(guī)或借助作出與△ABC等積的正方形的一條邊．
（不要求寫(xiě)具體作法，但要保留作圖痕跡）
（4）拓展探究
n邊形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為n-1邊形，…，直至轉(zhuǎn)化為等積三角形，從而可以化方．
如圖③，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)用尺規(guī)或借助網(wǎng)格作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫(xiě)具體作法，但要保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)直角△ADH和直角△HDE中，∠AHD=∠HED證明△ADH∽△HDE，得DH²=AD×DE，再根據(jù)等量代換得出正方形DFGH與矩形ABCD等積；
（3）作法：①作BC的中垂線(xiàn)，D為BC的中點(diǎn)，作?ABDE；②過(guò)B作BF⊥AE，垂足為F，作矩形BDHF；③在直線(xiàn)AE在取BF=FM，以HM為直徑，以點(diǎn)F為圓心作半圓，與直線(xiàn)BF交于點(diǎn)G；④則線(xiàn)段FG就是所求的正方形的一邊；
（4）作法：①連接BD，②過(guò)A作l∥BD，③延長(zhǎng)CD交l于E，④連接BE，則S_△BEC=S_{四邊形ABCD}．

解答 解：（1）答案為：△HDE，AD•DC；
（3）如圖2，答案為：矩形；







（4）如圖3，則△BEC的面積=四邊形ABCD的面積；

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，考查了尺規(guī)作圖，考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)及面積，同時(shí)還考查了學(xué)生的閱讀理解能力，利用三角形的面積和四邊形的面積解決問(wèn)題，注意三角形中：①等底等高的兩三角形的面積相等，②同底等高的兩三角形的面積相等，③等底同高的兩三角形的面積相等；矩形面積=長(zhǎng)×寬，平行四邊形面積=底×高．