分析 (1)利用直線平行得出Rt△AQM∽R(shí)t△CAD,再利用對(duì)應(yīng)邊的比值相等求出即可;
(2)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形,可利用三邊關(guān)系得出;
(3)CQRQ為定值.當(dāng)t>2時(shí),如備用圖2,先證明四邊形AMQP為矩形,再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB,再利用比例線段可求CQRQ.
解答 解:(1)∵AB∥DC,
∴Rt△AQM∽R(shí)t△CAD.
∴QMAM=ADCD.
即 QM0.5=42,
∴QM=1.
(2)∵根據(jù)題意可得當(dāng)0≤t≤2時(shí),以C、P、Q為頂點(diǎn)可以構(gòu)成三角形為直角三角形,故有兩種情況:
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,
此時(shí)DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1,
②當(dāng)∠PQC=90°時(shí),如備用圖1,
此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA,∴EQPE=MAQM,
由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t,
而PE=PC-CE=PC-(DC-DE)=t-(2-t)=2t-2,
∴4−2t2t−2=12,
∴t=53;
③當(dāng)2<t≤6時(shí),
可得CD=DP=2時(shí),∠DCP=45°,
可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形,
此時(shí)t=4,
綜上所述,t=1或 53或4;
(3)CQRQ為定值.
當(dāng)t>2時(shí),如備用圖2,PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t,
由(1)得,BF=AB-AF=4,
∴CF=BF,
∴∠CBF=45°,
∴QM=MB=6-t,
∴QM=PA,
∵AB∥DC,∠DAB=90°,
∴四邊形AMQP為矩形,
∴PQ∥AB,
∴△CRQ∽△CAB,
∴CQRQ=BCAB=√CF2+BF2AB=4√26=2√23.
點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識(shí),題目綜合性較強(qiáng),分類討論時(shí)要考慮全面,根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵.
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A. | √32 | B. | \frac{π}{6} | C. | \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6} | D. | \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{π}{6} |
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A. | 600名學(xué)生的體重是總體 | B. | 被抽取的100名學(xué)生的體重是樣本 | ||
C. | 樣本的容量是100 | D. | 被抽取的100名學(xué)生是樣本 |
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