Question

5．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．
（1）當t=0.5時，求線段QM的長；
（2）當M在AB上運動時，是否可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形？若可以，請求t的值；若不可以，請說明理由．
（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請?zhí)骄?\frac{CQ}{RQ}$是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直線平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用對應邊的比值相等求出即可；
（2）點M在線段AB上運動時，以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，可利用三邊關(guān)系得出；
（3）$\frac{CQ}{RQ}$為定值．當t＞2時，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求$\frac{CQ}{RQ}$．

解答 解：（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴$\frac{QM}{AM}$=$\frac{AD}{CD}$．
即 $\frac{QM}{0.5}$=$\frac{4}{2}$，
∴QM=1．

（2）∵根據(jù)題意可得當0≤t≤2時，以C、P、Q為頂點可以構(gòu)成三角形為直角三角形，故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，
此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②當∠PQC=90°時，如備用圖1，
此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴$\frac{EQ}{PE}$=$\frac{MA}{QM}$，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴$\frac{4-2t}{2t-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{3}$；
③當2＜t≤6時，
可得CD=DP=2時，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，
此時t=4，
綜上所述，t=1或 $\frac{5}{3}$或4；
（3）$\frac{CQ}{RQ}$為定值．
當t＞2時，如備用圖2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四邊形AMQP為矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴$\frac{CQ}{RQ}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}}{AB}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識，題目綜合性較強，分類討論時要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進行討論是解決問題的關(guān)鍵．