Question

4．矩形ABCD中，AC是對角線，AB=$\sqrt{3}$，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑是$\widehat{AF}$，則圖中影陰部分的面積為$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠ECD的度數(shù)，再結(jié)合矩形的性質(zhì)，求得CE、AE的長以及扇形的半徑AC，最后根據(jù)陰影部分面積=扇形ACF面積-△ACE面積-△CEF面積，進(jìn)行計算即可．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)得，∠BCE=60°，BC=EC，AB=FE，
∴∠ECD=30°，
∵AB=CD=$\sqrt{3}$，
∴DE=1，CE=2=BC，
∴AE=AD-DE=2-1=1，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴陰影部分面積
=扇形ACF面積-△ACE面積-△EFC面積
=$\frac{60×π×（\sqrt{7}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$
=$\frac{7}{6}π$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$
=$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題以旋轉(zhuǎn)為背景，主要考查了矩形的性質(zhì)和扇形的面積公式．求陰影面積常用的方法有：①直接用公式法； ②和差法； ③割補(bǔ)法．解題時注意：求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差關(guān)系．