Question

12．探索：在圖1至圖2中，已知△ABC的面積為a，
（1）如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA；延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CA=AE，連接DE；若△DCE的面積為S₁，則S₁=2a（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF （如圖2）．若陰影部分的面積為S₂，則S₂=6a （用含a的代數(shù)式表示）；
（3）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖2），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展n次后得到的三角形的面積是△ABC面積的7ⁿ倍（用含n的代數(shù)式表示）；
（4）應(yīng)用：某市準(zhǔn)備在市民廣場(chǎng)一塊足夠大的空地上栽種牡丹花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在△ABC的空地上種紫色牡丹，然后將△ABC向外擴(kuò)展二次（如圖3）．在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃色牡丹，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫色牡丹，紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米，黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米．要使得種植費(fèi)用不超過(guò)48700元，工程人員在設(shè)計(jì)時(shí)，三角形ABC的面積至多為多少平方米？

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ADE的面積即可；
（2）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面積，相加即可；
（3）由（2）得到△ABC向外擴(kuò)展了一次得到的△DEF的面積S_△DEF=7aS_△DEF=7a，△ABC向外擴(kuò)展了二次得到的△MGH的面積S_△MGH=7²a，找出規(guī)律即可；
（4）由（2）（3）的結(jié)論確定出種黃色牡丹，種紫色牡丹的面積，用總費(fèi)用建立不等式，即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AD，

∵BC=CD，
∴S_△ABC=S_△DAC=a，
∵AE=AC，
∴S_△DAE=S_△DAC=S_△ABC=a，
∴S₁=S_△CDE=S_△DAE+S_△DAC=2a，
故答案為2a，
（2）如圖2，

由（1）有，S_△CDE=2a，
同（1）的方法得到，
S_△EAF=2a，
S_△BDF=2a，
∴S₂=S_△CDE+S_△EAF+S_△BDF=6a，
（3）由（2）有S₂=6a，
∴S_△DEF=S₂+S_△ABC=6a+a=7a，
∴△ABC向外擴(kuò)展了一次得到的△DEF的面積S_△DEF=7a，
∴△ABC向外擴(kuò)展了二次得到的△MGH，可以看作是△DEF向外擴(kuò)展了一次得到，
∴S_△MGH=7S_△DEF=7×7a=7²a，
∴△ABC向外擴(kuò)展了二次得到的△MGH的面積S_△MGH=7²a，
同理：△ABC向外擴(kuò)展了n次得到的三角形的面積S=7ⁿa，
故答案為7ⁿ；
（4）由（2）有，△ABC第一次擴(kuò)展區(qū)域面積為S₂=6a，
同理：△ABC第二次擴(kuò)展區(qū)域可以看成是△DEF向外擴(kuò)展了一次得到，
∴S₃=6S_△DEF=6×7a=42a，
∵在△ABC的空地上種紫色牡丹，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫色牡丹，
∴種紫色牡丹的面積為a+42a=43a，
∵在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃色牡丹，
∴種黃色牡丹的面積為6a，
∵紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米，黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米．要使得種植費(fèi)用不超過(guò)48700元，
∴100×43a+95×6a≤48700，
∴a≤10，
∴工程人員在設(shè)計(jì)時(shí)，三角形ABC的面積至多為10平方米？

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積，面積和等積變形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出每個(gè)三角形的面積和根據(jù)得出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力．