Question

2．如圖甲所示，一個不計外壁厚度且足夠高的柱形容器放在水平桌面上，容器中立放著一個底面積為100cm²、高為12cm均勻?qū)嵭拈L方體木塊A，A的底部與容器底用一根細(xì)繩連在一起．現(xiàn)慢慢向容器中加水，當(dāng)加入1.8kg的水時，木塊A對容器底部的壓力剛好為0，如圖乙所示，此時容器中水的深度為9cm．已知細(xì)繩長度為L=8cm，ρ_水=1.0×10³kg/m³），求：
（1）當(dāng)木塊A對容器底部的壓力剛好為0時，A受到的浮力．
（2）木塊A的密度．
（3）若繼續(xù)緩慢向容器中加水，當(dāng)容器中的水的總質(zhì)量為4.5kg時，停止加水，如圖丙所示．此時將與A相連的細(xì)繩剪斷，求細(xì)繩剪斷前、剪斷后木塊靜止時，水對容器底部壓強的變化量．（整個過程中無水溢出）
（4）將繩子換為原長為8cm的輕質(zhì)彈簧（不計彈簧的體積），從容器中沒有水稻A剛好浸沒，需加多少kg的水，此時，彈簧拉力為多大？（在一定范圍內(nèi)，彈簧受到的拉力每增大1N，彈簧的長度就伸長1cm）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)木塊A底面積和水的深度，可求木塊A排開水的體積，再利用阿基米德原理求物塊受到的浮力；
（2）由于木塊A對容器底部的壓力剛好為0，則重力與浮力相等；利用G=mg求木塊的質(zhì)量，再利用密度公式求木塊的密度；
（3）根據(jù)水的體積求出木塊A浸入水的體積，進一步求細(xì)繩剪斷前、剪斷后排開水的體積變化，知道容器底面積，可求水深的變化量，再利用液體壓強公式求容器底所受壓強改變量；
（4）根據(jù)阿基米德原理求出A剛好沉沒時受到的浮力大小，與A的重力比較，根據(jù)A處于靜止?fàn)顟B(tài)，受平衡力，求出彈簧的拉力作用，根據(jù)已知條件求出彈簧的伸長，從而得出彈簧的長度，分別求出A底面以下和以上水的體積，根據(jù)m=ρV求加水的質(zhì)量．

解答 （1）已知木塊A的底面積S_木=100cm²，
由乙圖可知：當(dāng)木塊A對容器底部的壓力剛好為0，水的深度為h_水=9cm；
則木塊A排開水的體積：
V_排=S_木h_水=100cm²×9cm=900m³=9×10^-4m³，
木塊受到的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×9×10^-4m³×10N/kg=9N；
（2）木塊A的體積：V_木=S_木h_木=100cm²×12cm=1200cm³=1.2×10^-3m³，
由于木塊A對容器底部的壓力剛好為0，木塊A處于漂浮，則G=F_浮=9N，
由G=mg=ρVg可得木塊的密度：
ρ_木=$\frac{{G}_{木}}{{V}_{木}g}$=$\frac{9N}{1.2×1{0}^{-3}{m}^{3}×10N/kg}$=0.75×10³kg/m³；
（3）木塊A對容器底部的壓力剛好為0時，由ρ=$\frac{m}{V}$可得所加水的體積為：
V_水1=$\frac{{m}_{水1}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1.8kg}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=1.8×10^-3m³=1800cm³；
由乙圖可知：V_水1=（S_容-S_木）h_水，（其中h_水=9cm）
則容器的底面積為：
S_容=$\frac{{V}_{水1}}{{h}_{水}}$+S_木=$\frac{1800c{m}^{3}}{9cm}$+100cm²=300cm²；
再次加水后容器中水的總體積為：
V_水2=$\frac{{m}_{水2}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{4.5kg}{1.0×1{0}^{3}{m}^{3}}$=4.5×10^-3m³=4500cm³；

如上圖丙中可知，木塊下表面以下水的體積（圖中紅線以下）為：
V₁=S_容L=300cm²×8cm=2400cm³，
則紅線以上水的體積為：
V₂=V_水2-V₁=4500cm³-2400cm³=2100cm³，
設(shè)此時木塊浸入水的深度為h′，則V₂=（S_容-S_木）h′，
所以，木塊浸入水的深度：
h′=$\frac{{V}_{2}}{{S}_{容}{-S}_{木}}$=$\frac{2100c{m}^{3}}{300c{m}^{2}-100c{m}^{2}}$=10.5cm，
此時木塊排開水的體積為：
V_排′=S_木h′=100cm²×10.5cm=1050cm³；
若將細(xì)線剪斷，木塊將上浮，當(dāng)木塊靜止時漂浮如上圖丁，
由于圖丁與圖甲中的木塊都是漂浮，則木塊受到的浮力相等，排開水的體積相等，
所以，細(xì)線剪斷后木塊漂浮時，其排開水的體積為：
V_排″=V_排=900cm³，
細(xì)繩剪斷前、剪斷后，排開水的體積變化量：
△V_排=V_排′-V_排″=1050cm³-900cm³=150cm³，
則水的深度變化量：
△h═$\frac{△{V}_{排}}{{S}_{容}}$=$\frac{150c{m}^{3}}{300c{m}^{2}}$=0.5cm=5×10^-3m，
所以，水對容器底部壓強的變化量：
△p=ρ_水g△h=1×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m=50Pa；
（4）實心長方體木塊A剛好浸沒時到的浮力：
F_浮全=ρ_水V_排全g=ρ_水V_Ag=1×10³kg/m³×12×100×10^-6m³×10N/kg=12N；
而A的重力為9N，因浮力大于重力，故彈簧伸長，A受豎直向上的浮力和豎直向下的重力作用及彈簧對A豎直向下的拉力T作用，因此時A處于靜止?fàn)顟B(tài)，受平衡力的作用，即
G_A=F_浮全+T；
故彈簧對A的拉力：
T=G_A-F_浮全+=12N-9N=3N，
因在一定范圍內(nèi)，彈簧受到的拉力每增大1N，彈簧的長度就伸長1cm，故此時彈簧伸長了3cm，故彈簧總長為：
L=8cm+3cm=11cm，
故A下底面以下水的體積：
V₃=S_容L=300cm²×11cm=3.3×10cm³，
故A下底面以上水的體積：
V₄=（S_容-S_A）h_木=（300cm²-100cm²）×12cm=2.4×10cm³，
加水的總體積為：
V=V₃+V₄=3.3×10cm³+2.4×10cm³=5.7×10cm³，
故從容器中沒有水到A剛好浸沒，需加水的質(zhì)量：
m_加=ρ_水V=1×10³kg/m³×5.7×10³×10^-6m³=5.7kg．
答：（1）A受到的浮力為9N；
（2）木塊A的密度為0.75×10³kg/m³；
（3）細(xì)繩剪斷前、剪斷后木塊靜止時，水對容器底部壓強的變化量為50Pa．
（4）從容器中沒有水稻A剛好浸沒，需加5.7kg的水，此時，彈簧拉力為3N．

點評 本題為力學(xué)綜合題，考查了學(xué)生對重力公式、密度公式、液體壓強公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件、力的合成與彈簧的伸長與拉力的關(guān)系的，為壓軸題．本題難點在第三問和第四問，能求出水深變化和分析彈簧的狀態(tài)是本題的關(guān)鍵．