Question

14．宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式，其中一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．已知每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，星體之間的距離為l，引力常量為G．求：
（1）其中一顆星所受合力；
（2）星體運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力定律列式求解任意兩個(gè)星體間的引力大�。�
（2）合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律，任意兩個(gè)星體間的引力大小為：F=G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$；
每個(gè)星體的合力為：F_合=2Fcos30°=$\frac{\sqrt{3}G{M}^{2}}{{L}^{2}}$，
（2）星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力，
故：F_合=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，其中有幾何知識(shí)：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$；
解得：T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$．
答：（1）其中一顆星所受合力為$\frac{\sqrt{3}G{M}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）星體運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)萬有引力求合力和周期，是一道難題．