Question

1．已知橢圓W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的上下頂點分別為A，B，且點B（0，-1）．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓W的左、右焦點，且∠F₁BF₂=120°．
（Ⅰ）求橢圓W的標準方程；
（Ⅱ）點M是橢圓上異于A，B的任意一點，過點M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點．直線AE與直線y=-1交于點C，G為線段BC的中點，O為坐標原點．求∠OEG的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，由∠F₁BO=60°，則a=2．即可求得橢圓W的標準方程；
（Ⅱ）由題意設(shè)N和E點坐標，設(shè)直線AE的方程，當y=-1，即可求得C點坐標，求得G點坐標，則$\overrightarrow{OE}=（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$，$\overrightarrow{GE}=（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，{y_0}+1）$．根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{GE}$=0，則$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{GE}$，則∠OEG=90°．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得b=1．又∠F₁BF₂=120°，
在Rt△BF₁O中，∠F₁BO=60°，則a=2．
∴橢圓W的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．                      …（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），x₀≠0，則N（0，y₀），E$（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$．
由點M在橢圓W上，則$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$．即${x_0}^2=4-4{y_0}^2$．
又A（0，1），則直線AE的方程為$y-1=\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}x$．
令y=-1，得C$（\frac{x_0}{{1-{y_0}}}，-1）$．
又B（0，-1），G為線段BC的中點，則G$（\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，-1）$．
∴$\overrightarrow{OE}=（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$，$\overrightarrow{GE}=（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，{y_0}+1）$．
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}=\frac{x_0}{2}（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}）+{y_0}（{y_0}+1）$=$\frac{{{x_0}^2}}{4}-\frac{{{x_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}^2+{y_0}$
=$1-\frac{{4-4{y_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}$=1-y₀-1+y₀=0，
∴$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{GE}$．則∠OEG=90°，
∠OEG為90°．                   …（13分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的點斜式方程，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．