Question

12．已知在一次全國數(shù)學競賽中，某市3000名參賽學生的初賽成績統(tǒng)計如圖所示．
（1）求a的值，并估計該市學生在本次數(shù)學競賽中，成績在的[80，90）上的學生人數(shù)；
（2）若在本次考試中選取1500人入圍決賽，則進入復賽學生的分數(shù)應當如何制定（結(jié)果用分數(shù)表示）；
（3 ） 若以該市考生的成績情況估計全省考生的成績情況，從全省考生中隨機抽取4名考生，記成績在80分以上（含80分）的考生人數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
（3）該市成績在80分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，可得X～B$（4，\frac{2}{5}）$．即可得出X的分布列與數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a=0.005．
∴成績在的[80，90）上的學生人數(shù)=6×0.005×10×3000=900．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
初試成績大于或等于$\frac{540}{7}$的進入決賽．
（3）該市成績在80分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，∴X～B$（4，\frac{2}{5}）$．
∴P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（\frac{3}{5}）^{4-k}$，可得P（X=0）=$\frac{81}{625}$，P（X=1）=$\frac{216}{625}$，P（X=2）=$\frac{216}{625}$，P（X=3）=$\frac{96}{625}$，P（X=4）=$\frac{16}{625}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$

∴EX=$4×\frac{2}{5}$=1.6．

點評 本題考查了二項分布列及其數(shù)學期望、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．