Question

13．在平面直角坐標系xOy中．點M不與點O重合，稱射線OM與圓x²+y²=1的交點N為點M的“中心投影點“．
（1）點M（1，$\sqrt{3}$）的“中心投影點”為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（2）曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有點的“中心投影點”構成的曲線的長度是$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）聯立射線OM的方程和圓的方程，解方程即可得到N的坐標；
（2）求出雙曲線的漸近線方程，聯立圓方程求出交點，可得所求曲線為兩段圓弧，運用弧長公式即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得射線OM方程為y=$\sqrt{3}$x（x＞0）與圓x²+y²=1
聯立，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即有N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
代入圓x²+y²=1可得四個交點（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
即有曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}=1$上所有點的“中心投影點”構成的曲線為兩段圓弧，
且圓心角為120°，半徑為1，則弧長為$\frac{4π}{3}$．
故答案為：（1）（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；（2）$\frac{4π}{3}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查聯立方程組求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．