Question

5．已知命題P：對?x∈[2，4]，不等式x²≥k恒成立．命題Q：?x∈R，使x²-x+k=0成立．如果命題“￢P”為假，命題“P∧Q”為假，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 通過命題與否定的真假關(guān)系，轉(zhuǎn)化對任意，不等式x²≥k恒成立，只需關(guān)于x的方程x²-x+k=0有實數(shù)根，則只需△=1-4k≥0，然后最后求解k的范圍．

解答 （本題滿分10分）
解：因為命題“￢P”為假，所以命題P是真命題．…（2分）
又因為命題“P∧Q”為假，所以命題Q是假命題．…（4分）
要使對任意，不等式x²≥k恒成立，只需，
所以命題P是真命題的條件是：．…（6分）
關(guān)于x的方程x²-x+k=0有實數(shù)根，則只需△=1-4k≥0，即k≤$\frac{1}{4}$．
命題Q是真命題的條件是：k$≤\frac{1}{4}$，所以命題Q是假命題的條件是k$＞\frac{1}{4}$．…（8分）
綜上所述，使命題“￢P”為假，命題“P∧Q”為假的條件是k的取值范圍為$（{\frac{1}{4}，4}]$…（10分）

點評 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，沒有與命題的否定的真假關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．