Question

15．若存在正實(shí)數(shù)x，y，z滿足$\frac{z}{2}$≤x≤ez且zln$\frac{y}{z}$=x，則ln$\frac{y}{x}$的取值范圍為（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． [1，e-1]
• C． （-∞，e-1]
• D． [1，$\frac{1}{2}$+ln2]

Answer 1

分析 由已知得到ln$\frac{y}{x}$=$ln\frac{y}{z}•\frac{z}{x}=ln\frac{y}{z}+ln\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+ln\frac{z}{x}$，求出$\frac{z}{x}$的范圍，利用函數(shù)求導(dǎo)求最值．

解答 解：由正實(shí)數(shù)x，y，z滿足$\frac{z}{2}$≤x≤ez且zln$\frac{y}{z}$=x，得到$\frac{1}{2}≤$$\frac{x}{z}≤e$，$ln\frac{y}{z}=\frac{x}{z}$∈[$\frac{1}{2}$，e]，
ln$\frac{y}{x}$=$ln\frac{y}{z}•\frac{z}{x}=ln\frac{y}{z}+ln\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+ln\frac{z}{x}$，
設(shè)t=$\frac{z}{x}$，則$ln\frac{y}{x}=f（t）=\frac{1}{t}+lnt$，t∈[$\frac{1}{e}$，2]，
f'（t）=$-\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{1}{t}=\frac{t-1}{{t}^{2}}$，令f'（t）=0，得到t=1，
所以當(dāng)$\frac{1}{e}≤t≤1$時(shí)，f'（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t=1時(shí)函數(shù)的最小值為f（1）=1+ln1=1；
又f（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，f（$\frac{1}{e}$）=e-1，．
又f（$\frac{1}{e}$）-f（2）=e-ln2-$\frac{3}{2}$＞e-lne-$\frac{3}{2}$=e-2.5＞0，
所以f（$\frac{1}{e}$）＞f（2），
所以ln$\frac{y}{x}$的取值范圍為[1，e-1]；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的思想求范圍問題；關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為已知自變量范圍的函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)得到最值．屬于難題．