分析 (Ⅰ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明DE⊥平面ABF.
(Ⅱ)求出平面BFD的法向量和平面AFD的法向量,利用向量法能求出二面角A-FD-B與二面角A-BF-D的正切值之比.
解答 證明:(Ⅰ)∵如四邊形ABCD是正方形,EA⊥底面ABCD,
∴如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(6,0,0),$F(0,3,3\sqrt{2})$,D(0,6,0),$E(0,0,3\sqrt{2})$,(2分)
$\overrightarrow{DE}=(0,-6,3\sqrt{2})$,$\overrightarrow{AB}=(6,0,0)$,$\overrightarrow{AF}=(0,3,3\sqrt{2})$
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AB}=0$,且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AF}=0-18+18=0$
∴DE⊥AB,DE⊥AF,
又AB∩AF=A,∴DE⊥平面ABF.
解:(Ⅱ)設(shè)平面BFD的法向量為$\overrightarrow n=(x,y,z)$
由(Ⅰ)知$\overrightarrow{DF}=(0,-3,3\sqrt{2})$,$\overrightarrow{DB}=(6,-6,0)$
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=-3y+3\sqrt{2}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=6x-6y=0\end{array}\right.$,令z=1,得$\overrightarrow n=(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$
又平面AFD的法向量為$\overrightarrow{AB}=(6,0,0)$
由(1)可知平面ABF的法向量為$\overrightarrow{DE}$=(0,-6,3$\sqrt{2}$),
設(shè)二面角A-FD-B的大小為α,α是銳角
則$cosα=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{6\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$,∴$tanα=\frac{{\sqrt{1-\frac{10}{25}}}}{{\frac{{\sqrt{10}}}{5}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,
設(shè)二面角A-BF-D的大小為β,β是銳角,
則$cosβ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{DE}}|}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{3\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,∴$tanβ=\frac{{\sqrt{1-\frac{1}{3}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\sqrt{2}$,
∴二面角A-FD-B與二面角A-BF-D的正切值之比$\frac{tanα}{tanβ}=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角與二面角的正切值之比的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | $-\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $-\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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A. | $\frac{40}{3}$ | B. | 40 | C. | $\frac{20}{3}$ | D. | 20 |
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