Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x³+bx²-x+2
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1），求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤$\frac{g′（x）}{2}$+1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g′（x）=3x²+2bx-1，由函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1），得到g′（x）=3x²+2bx-1＜0的解集為（-$\frac{1}{3}，1$），由此能求出函數(shù)g（x）的解析式．
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{{g}^{'}（x）}{2}+1$恒成立，即xlnx≤$\frac{3{x}^{2}+2bx+1}{2}$在x∈（0，+∞）上恒成立，從而得到b≥lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，令h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，則h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)g（x）=x³+bx²-x+2，
∴g′（x）=3x²+2bx-1，
∵函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1），
∴g′（x）=3x²+2bx-1＜0的解集為（-$\frac{1}{3}，1$），
∴3x²+2bx-1=0的兩個根分別為-$\frac{1}{3}$，1，
∴$\frac{1}{3}+1=-\frac{2b}{3}$，解得b=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f（x）≤$\frac{{g}^{'}（x）}{2}+1$恒成立，即xlnx≤$\frac{3{x}^{2}+2bx+1}{2}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
解得b≥lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，則${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{1}{3}$（舍），
當0＜x＜1時，h′（x）＞0，當x＞1時，h′（x）＜0，
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=h（1）=-2，
∴b≥-2，
∴實數(shù)b的取值范圍是（-2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)、構造法的合理運用．