【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離,傾斜角為的直線經(jīng)過焦點,且與拋物線交于兩點.

1)求拋物線的標準方程及準線方程;

2)若為銳角,作線段的中垂線軸于點.證明:為定值,并求出該定值.

【答案】1)拋物線的方程為,準線方程為

2為定值,證明見解析.

【解析】

1)利用拋物線的定義結(jié)合條件,可得出,于是可得出點的坐標,然后將點的坐標代入拋物線的方程求出的值,于此可得出拋物線的方程及其準線方程;

2)設直線的方程為,設點、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去,列出韋達定理,計算出線段的中點的坐標,由此得出直線的方程,并得出點的坐標,計算出的表達式,可得出,然后利用二倍角公式可計算出為定值,進而證明題中結(jié)論成立.

1)由拋物線的定義知,,.

將點代入,得,得.

拋物線的方程為,準線方程為;

2)設點,設直線的方程為,

,消去得:,則,

,.

設直線中垂線的方程為:

,得:,則點,,.

,

為定值.

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分組

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頻率

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