Question

10．若存在實數(shù)α∈R，$β∈[\frac{π}{2}，π]$，使得實數(shù)t同時滿足$t={cos^2}β+\frac{α}{2}cosβ$，α≤t≤α-2cosβ，則t的取值范圍是（　�。�

• A． $[-\frac{2}{3}，0]$
• B． $[0，\frac{4}{3}]$
• C． $[\frac{4}{3}，2]$
• D． [2，4]

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出t≥$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，設(shè)f（t）=$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，求出f（t）的最小值；再根據(jù)題意求出t≤$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$，設(shè)g（t）=$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$=2f（t），求出g（t）的最大值，從而求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵β∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴-1≤cosβ≤0；
∵α≤t，∴$t={cos^2}β+\frac{α}{2}cosβ$≥cos²β+$\frac{t}{2}$cosβ，
即t≥$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$；
令f（t）=$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，則
f′（t）=$\frac{4cosβ•（-sinβ）（2-cosβ）-{2cos}^{2}βsinβ}{{（2-cosβ）}^{2}}$=$\frac{2cosβsinβ（cosβ-4）}{{（2-cosβ）}^{2}}$；
令f′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0；
當(dāng)sinβ=0時，cosβ=-1，
此時f（t）=$\frac{2}{2-（-1）}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)cosβ=0時，f（t）=0為最小值；
又t≤α-2cosβ，∴α≥t+2cosβ，
∴t≤cos²β+$\frac{t+2cosβ}{2}$•cosβ，
即t≤$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$；
令g（t）=$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$=2f（t），
則g′（t）=2f′（t）=2•$\frac{2cosβsinβ（cosβ-4）}{{（2-cosβ）}^{2}}$；
令g′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0；
當(dāng)sinβ=0時，cosβ=-1，
此時g（t）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$為最大值，
當(dāng)cosβ=0時，g（t）=0；
綜上，實數(shù)t的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的綜合運用問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)與求最值問題，是綜合性題目．