Question

10．已知直線l的方程為2x+my-4m-4=0，m∈R，點P的坐標為（-1，0）．
（1）求證：直線l恒過定點，并求出定點坐標；
（2）設(shè)點Q為直線l上的動點，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）設(shè)點P在直線l上的射影為點A，點B的坐標為（$\frac{9}{2}$，5），求線段AB長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令參數(shù)m的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線l恒過定點的坐標．
（2）根據(jù)|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．
（3）根據(jù)PA⊥AS，以及圓的性質(zhì)可得點A的軌跡是以PS為直徑的圓，由根據(jù)|BM|-r≤|AB|≤|BM|+r，求得線段AB長的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵直線l的方程為2x+my-4m-4=0，m∈R，即2（x-2）+m（y-4）=0，
令y-4=0，求得x=2，y=4，可得直線l恒過定點的坐標為S（2，4）．
（2）∵點P的坐標為（-1，0），|PQ|≤|PS|=$\sqrt{{（-1-2）}^{2}{+（0-4）}^{2}}$=5，故|PQ|的最大值為5，
此時，PS⊥l，它們的斜率之積$\frac{4}{3}•\frac{-2}{m}$=-1，求得m=$\frac{8}{3}$．
（3）直線l恒過定點S（2，4），點B的坐標為（$\frac{9}{2}$，5），PA⊥AS，
故點A的軌跡是以PS為直徑的圓，圓心M（$\frac{1}{2}$，2）、半徑為$\frac{|PS|}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴|BM|-$\frac{5}{2}$≤|AB|≤|BM|+$\frac{5}{2}$，即 $\frac{5}{2}$≤|AB|≤$\frac{15}{2}$．

點評 本題主要考查經(jīng)過定點的直線，兩條直線垂直的性質(zhì)，圓的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．