10.已知平行于x軸的直線分別交曲線y=e2x+1與y=$\sqrt{2x-1}$于A,B兩點,則|AB|的最小值為( 。
A.$\frac{5+ln2}{4}$B.$\frac{5-ln2}{4}$C.$\frac{3+ln2}{4}$D.$\frac{3-ln2}{4}$

分析 設A(x1,a),B(x2,a),用a表示出x1,x2,求出|AB|,令y=x2-lnx,利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出|AB|的最小值.

解答 解:設A(x1,a),B(x2,a),
則a=e2x1+1=$\sqrt{2{x}_{2}-1}$,
x1=$\frac{1}{2}$(lna-1),x2=$\frac{1}{2}$(a2+1),
可得|AB|=|x2-x1|=$\frac{1}{2}$|a2-lna+2|,
令y=x2-lnx,則y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2(x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})}{x}$,
函數(shù)在(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)上單調(diào)遞減,在($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)上單調(diào)遞增,
可得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,函數(shù)y的最小值為$\frac{1}{2}$(1+ln2),
即有|AB|的最小值為$\frac{5+ln2}{4}$.
故選:A.

點評 本題考查導數(shù)知識的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運算能力,正確求導確定函數(shù)的最小值是關鍵.

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