Question

1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)于t∈R，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0可求得b，再由f（-x）=$\frac{{2}^{x}-1}{1+a{•2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$可求得a的值；
（2）由（1）知，$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為減函數(shù)，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立?f（2t²-k）＜-f（t²-2t）=f（2t-t²）恒成立?k＜（3t²-2t）_min，從而可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{b-{2}^{0}}{{2}^{0}+a}$=0，∴b=1；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∵f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x}+a}$=$\frac{{2}^{x}-1}{1+a{•2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∴1+a•2^x=2^x+a，
∴a=1，
∴a=b=1；
（2）對(duì)于t∈R，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立?f（2t²-k）＜-f（t²-2t）=f（2t-t²），
由（1）知，$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為減函數(shù)，
∴2t²-k＞2t-t²恒成立，
∴k＜（3t²-2t）_min，
又y=3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．