Question

5．若函數(shù)f（x）=xe^x-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{1}{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{e}，0）$
• C． （-e，0）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 求導(dǎo)，令f′（x）=0，解得：x=-1，令f′（x）＜0，求得單調(diào)遞減區(qū)間，令f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值f（-1）=-e-^x-a，函數(shù)f（x）=xe^x-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（-1）=-e-^x-a＜0，a＞-$\frac{1}{e}$，由a≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零點(diǎn)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）=xe^x-a的導(dǎo)函數(shù)f（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，即（x+1）e^x=0，解得：x=-1，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值f（-1）=-e^-1-a，
若函數(shù)f（x）=xe^x-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（-1）=-e^-1-a＜0，
即a＞-$\frac{1}{e}$，
又a≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零點(diǎn)，
故a＜0，
綜上可知：-$\frac{1}{e}$＜a＜0，
實(shí)數(shù)a的取值范圍（-$\frac{1}{e}$，0），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的與函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，考查導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于中檔題．