13.在四邊形ABCD中,對角線AC,BD垂直相交于點O,且OA=OB=OD=4,OC=3.
將△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角E-BD-A的大小為90°(如圖).已知Q為EO的中點,點P在線段AB上,且$AP=\sqrt{2}$.
(Ⅰ)證明:直線PQ∥平面ADE;
(Ⅱ)求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值.

分析 (Ⅰ)證明PR∥平面ADE,RQ∥平面ADE,可得平面PQR∥平面ADE,即可證明:直線PQ∥平面ADE;
(Ⅱ)由等體積法可得點O到平面ADE的距離,即可求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值.

解答 (Ⅰ)證明:如圖,取OD的中點R,連接PR,QR,則DE∥RQ,
由題知$AB=4\sqrt{2}$,又$AP=\sqrt{2}$,故AB:AP=4:1=DB:DR,因此AD∥PR,
因為PR,RQ?平面ADE,
且AD,DE?平面ADE,故PR∥平面ADE,RQ∥平面ADE,
又PR∩RQ=R,
故平面PQR∥平面ADE,從而PQ∥平面ADE.…6分
(Ⅱ)解:由題EA=ED=5,$AD=4\sqrt{2}$,設(shè)點O到平面ADE的距離為d,
則由等體積法可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4\sqrt{2}$$•\sqrt{25-8}•d=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4•4•3$,
故$d=\frac{{6\sqrt{34}}}{17}$,因此$sinθ=\frach3d9yby{OD}=\frac{3}{34}\sqrt{34}$.…12分.

點評 本題考查線面平行的判定,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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