Question

4．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，M是BC的中點，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=$2\sqrt{2}$．
（1）求證：ME⊥平面ADE；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD中點N，連結(jié)NM，NE，推導(dǎo)出AD⊥ME，過E點，作EO⊥NM于O，推導(dǎo)出NE⊥ME，由此能證明ME⊥面ADE．
（2）過E，F(xiàn)點分別作垂直底面的平面，把多面體ABCDEF分成兩個全等的四棱錐和一個三棱柱，由此能求出多面體ABCDEF的體積．

解答 證明：（1）取AD中點N，連結(jié)NM，NE，
則AD⊥NM，AD⊥NE，
∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，
過E點，作EO⊥NM于O，
根據(jù)題意，得NO=1，OM=3，NE=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，EM=2$\sqrt{3}$，
∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，
∴ME⊥面ADE．
解：（2）過E，F(xiàn)點分別作垂直底面的平面，
把多面體ABCDEF分成兩個全等的四棱錐和一個三棱柱，
則多面體ABCDEF的體積V=2×$\frac{1}{3}×1×4×\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×2$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查柱、錐、臺體的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．