Question

13．已知復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）若點(diǎn)O為原點(diǎn)，求與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量．

Answer 1

分析 （1）復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個(gè)根．$\overline{z}$=3-4i也為此方程的一個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），則與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)z=3+4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，且z恰好為二次方程x²+px+q=0的一個(gè)根．
∴$\overline{z}$=3-4i也為此方程的一個(gè)根，則z+$\overline{z}$=6=-p，z•$\overline{z}$=（3+4i）（3-4i）=25=q，
∴p=-6，q=25．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），
則與$\overrightarrow{OA}$同向的單位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{（3，4）}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)系數(shù)一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)的幾何意義、單位向量，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．