分析 (1)先求出導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)判別式和a的范圍分類討論,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的個數(shù),
(2)問題轉(zhuǎn)化為要證x1+x2=$\frac{t+1}{t-1}$lnt>2,t>1,即證(t+1)lnt>2(t-1),構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系即可證明.
解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$,x>0
方程-x2+x-a=0的判別式為△=1-4a,
①當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞),為減函數(shù),無極值點(diǎn),
②當(dāng)0≤a<$\frac{1}{4}$時,令f′(x)=0,解得x1=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$>0,x2=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,
當(dāng)f′(x)<0,解得0<x<$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$,x>$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,
此時f(x)在(0,$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$),($\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,+∞)為減函數(shù),
當(dāng)f′(x)>0時,解得$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$<x<$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,
此時f(x)在($\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$,$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$)為增函數(shù),
此時f(x)有一個極大值點(diǎn)x=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,和一個極小值點(diǎn)x=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$,
③當(dāng)a<0,令f′(x)=0,解得x1=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$<0,x2=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$>0,
當(dāng)f′(x)>0,解得0<x<$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,此時f(x)在(0,$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$),為增函數(shù),
當(dāng)f′(x)<0時,解得x>$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,此時在($\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,+∞)為減函數(shù),
此時f(x)有一個極大值點(diǎn)x=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$;
(Ⅱ)由題意知f(x1)=m,f(x2)=m,
故f(x1)=f(x2),
∵x1≠x2,不妨設(shè)x1<x2,
∴l(xiāng)nx1-x1+1=lnx2-x2+1,
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=x2-x1,
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t,則x2=tx1,
∴l(xiāng)nt=(t-1)x1,
∴x1=$\frac{lnt}{t-1}$,x2=tx1=$\frac{tlnt}{t-1}$,
故要證x1+x2=$\frac{t+1}{t-1}$lnt>2,t>1,
即證(t+1)lnt>2(t-1),
令g(t)=(t+1)lnt-2t+2,
∴g′(t)=$\frac{t+1}{t}$+lnt-2=$\frac{tlnt-t+1}{t}$,
令h(t)=tlnt-t+1,t>1,
則h′(t)=lnt>0,
∴h(t)在t∈(1,+∞)上為增函數(shù),
∴h(t)>h(1)=0,
∴g(t)在(1,+∞)為增函數(shù),
∴g(t)>g(1)=0,
∴(t+1)lnt>2(t-1),
即$\frac{t+1}{t-1}$lnt>2,
∴x1+x2>2
點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值和最值得關(guān)系,關(guān)鍵是分類討論和構(gòu)造函數(shù),屬于難題.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-2,0] | B. | [0,2] | C. | [-2,2] | D. | (0,2) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的圖象過點(diǎn),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù),若時,恒成立,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年河北正定中學(xué)高二上月考一數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:填空題
某服裝設(shè)計公司有1200名員工,其中老年、中年、青年所占的比例為1:5:6.公司十年慶典活
動特別邀請了5位當(dāng)?shù)氐母枋趾凸镜?6名員工同臺表演節(jié)目,其中員工按老年、中年、青年進(jìn)行分層
抽樣,則參演的中年員工的人數(shù)為 .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com