Question

14．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}），{F_1}，{F_2}$為其左、右焦點(diǎn)，e為離心率，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則有如下說法：
①當(dāng)0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，使△PF₁F₂為直角三角形的點(diǎn)P有且只有4個(gè)；
②當(dāng)e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，使△PF₁F₂為直角三角形的點(diǎn)P有且只有6個(gè)；
③當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1時(shí)，使△PF₁F₂為直角三角形的點(diǎn)P有且只有8個(gè)；
以上說法中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的離心率的取值范圍，得出橢圓的短軸的頂點(diǎn)構(gòu)成的角∠F₁BF₂的取值范圍，分別判斷，使△PF₁F₂為直角三角形的點(diǎn)P個(gè)數(shù)．

解答 解：如圖所示，丨BF₁丨=a，丨OF₁丨=c，設(shè)∠BF₁O=θ，則tanθ=$\frac{c}{a}$=e，
①中，當(dāng)橢圓的離心率0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，即0＜tanθ＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴θ∈（0，$\frac{π}{4}$），則∠F₁BF₂＞$\frac{π}{2}$，
若△PF₁F₂為直角三角形時(shí)，只能是∠PF₁F₂和∠PF₂F₁為直角時(shí)成立，
所以這樣的直角三角形，只有四個(gè)；
②中，當(dāng)橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，即tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$，此時(shí)∠F₁BF₂=$\frac{π}{2}$，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直角三角形共有六個(gè)；
③中，當(dāng)橢圓的離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1時(shí)，即tanθ＞$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜∠F₁BF₂＜$\frac{π}{2}$，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直角三角形共有八個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)問題，其中解答中涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，橢圓的離心率等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．