Question

16．

商品名稱	A	B	C	D	E
銷售額x（千萬(wàn)元）	3	5	6	7	9
利潤(rùn)額y（百萬(wàn)元）	2	3	3	4	5

（1）畫出散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖，說(shuō)明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)性．
（2）用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程．參考公式：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$
（3）當(dāng)銷售額為4（千萬(wàn)元）時(shí)，估計(jì)利潤(rùn)額的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知條件作出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖得兩個(gè)變量有線性相關(guān)．
（2）設(shè)回歸直線的方程是：$\widehat{y}$=bx+a，分別求出$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，由此能求出利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程．
（3）由利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程，能求出當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí)的利潤(rùn)額．

解答 解：（1）由已知條件作出散點(diǎn)圖，如下：

觀察散點(diǎn)圖得兩個(gè)變量有線性相關(guān)．
（2）設(shè)回歸直線的方程是：$\widehat{y}$=bx+a，
∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$
=$\frac{-3×（-1.4）+（-1）×（-0.4）+1×0.6+3×1.6}{9+1+1+9}$
=$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=3.4-$\frac{1}{2}×6$=0.4．
∴利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程為：y=0.5x+0.4．
（2）當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)額為：
$\widehat{y}$=0.5×4+0.4=2.4（百萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查散點(diǎn)圖的作法，考查線性回歸方程的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意回歸方程性質(zhì)的合理運(yùn)用．