8.已知在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊,向量$\overrightarrow m=(a-b,sinA+sinC)$與向量$\overrightarrow n=(a-c,sin(A+C))$共線.
(1)求角C的值;
(2)若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-27$,求$|\overrightarrow{AB}|$的最小值.

分析 (1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,兩個(gè)向量共線的性質(zhì),正弦定理、余弦定理,求得cosC的值,可得C的值.
(2)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|的值,利用$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}{|^2}=|\overrightarrow{CB}{|^2}+|\overrightarrow{CA}{|^2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$以及基本不等式,求得$|\overrightarrow{AB}|$的最小值.

解答 解:(1)向量$\overrightarrow m=(a-b,sinA+sinC)$與向量$\overrightarrow n=(a-c,sin(A+C))$共線.
∴(a-b)•sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC),由正弦定理可得(a-b)•b=(a-c)(a+c),
∴c2=a2+b2-ab,∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$,∵0<C<π,∴$C=\frac{π}{3}$.
(2)∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-27$,∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=27$,∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cosC=27$,∴$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|=54$,∵$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}{|^2}=|\overrightarrow{CB}{|^2}+|\overrightarrow{CA}{|^2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$,
∴$|\overrightarrow{AB}{|^2}≥2|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{CA}|-2×27=2×54-54=54$,∴$|\overrightarrow{AB}|≥3\sqrt{6}$,(當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}|=3\sqrt{6}$時(shí),取“=”),
∴$|\overrightarrow{AB}|$的最小值為$3\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,正弦定理、余弦定理,兩個(gè)向量共線的性質(zhì),基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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