Question

12．已知平面向量$\vec a，\vec b，\vec c$滿(mǎn)足$|\vec a|=1，\vec a•\vec b=\vec b•\vec c=1，\vec a•\vec c=2$，則$|\vec a+\vec b+\vec c|$的最小值是4．

Answer 1

分析 不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q），根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到n=-$\frac{1}{q}$，再根據(jù)向量的模的和基本不等式即可求出答案．

解答 解：不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q）則m=1，p=2，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=2+nq=1，則nq=-1，
∴n=-$\frac{1}{q}$，
∴$\overrightarrow$=（1，-$\frac{1}{q}$），$\overrightarrow{c}$=（2，q），
∴$|\vec a+\vec b+\vec c|$²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1+1+$\frac{1}{{q}^{2}}$+4+q²+2+2+4=14+$\frac{1}{{q}^{2}}$+q²≥14+2=16，
∴$|\vec a+\vec b+\vec c|$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)q²=1，即q=±1時(shí)“=”成立．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．