Question

15．已知F為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線PP′過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與橢圓C分別交于點(diǎn)P，P′兩點(diǎn)，且|PF|=1，|P′F|=3，橢圓C的離心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AOB是鈍角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知丨PF₁丨+|PF|=3+1=4=2a，a=2c，即可求得c的值，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，求得A和B的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$＞0，則∠AOB是銳角，當(dāng)k≠0，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，x₁x₂+y₁y₂＜0，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，由題意可在：丨PF₁丨=|P′F|=3，則丨PF₁丨+|PF|=3+1=4=2a，則a=2，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則c=1，
b²=a²-c²=3
橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅱ）可知：橢圓的右焦點(diǎn)（1，0），直線AB的斜率k=0時(shí)，
A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$＞0，
∴∠AOB是銳角，
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，直線l的方程y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直線l過焦點(diǎn)F，∴△＞0恒成立，
且x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∠AOB是鈍角，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）＜0，化為：（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²＜0，
則（1+k²）×$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-k²×$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+k²＜0，解得：k²≥-$\frac{12}{5}$，
綜上可知：k∈R，且k≠0，
直線l的斜率k的取值范圍（-∞，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．