Question

11．由正數(shù)組成的集合A具有如下性質：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+$\frac{a}$∈A．
（1）試問集合A能否恰有兩個元素且$\frac{4}{3}$∈A？若能，求出所有滿足條件的集合A；若不能，請說明理由．
（2）試問集合A能否恰有三個元素？若能，請寫出一個這樣的集合A；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定b=3a，再利用集合A恰有兩個元素且$\frac{4}{3}$∈A，a=$\frac{4}{3}$或b=$\frac{4}{3}$，即可得出結論；
（2）利用反證法，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，1+$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，∴$\frac{a}$=$\frac{1}{3}$，∴b=3a，
∵集合A恰有兩個元素且$\frac{4}{3}$∈A，
∴a=$\frac{4}{3}$或b=$\frac{4}{3}$，
∴b=4或a=$\frac{4}{9}$，
∴A={$\frac{4}{3}$，4}或B={$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{9}$}；
（2）由題意，3個元素為a，b，1+$\frac{a}$，
若a＜b＜1+$\frac{a}$，則1+$\frac{a}{1+\frac{a}}$∈A，1+$\frac{1+\frac{a}}$∈A，
令1+$\frac{a}{1+\frac{a}}$=a，可得a²-a-b=0，1+$\frac{1+\frac{a}}$=b，可得b²-b-a=0，
兩方程相減可得a=b與已知矛盾，故集合A不能恰有三個元素．

點評 本題考查集合運算，考查新定義，考查學生的計算能力，比較基礎．