1.如圖,A1,A2為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的長軸的左、右端點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),S,Q,T為橢圓上不同于A1,A2的三點(diǎn),直線QA1,QA2,OS,OT圍成一個(gè)平行四邊形OPQR,則|OS|2+|OT|2=14.

分析 解法一:當(dāng)Q選在短軸的端點(diǎn)上,取Q(0,$\sqrt{5}$),由于A1(-3,0),A2(3,0)根據(jù)直線的斜率公式代入橢圓方程,即可求得T點(diǎn)坐標(biāo),則|OS|2+|OT|2=7+7=14;
解法二:設(shè)直線OS,OT的方程分別為:y=k1x,y=k2x,代入橢圓方程求得x12=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$,y12=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$,x22=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$,y22=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$,由k1•k2=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$,根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得|OS|2+|OT|2的值.

解答 解法一:題目為選擇題,可采用特殊點(diǎn)法進(jìn)行快速計(jì)算,
由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$焦點(diǎn)在x軸上,
當(dāng)Q選在短軸的端點(diǎn)上,取Q(0,$\sqrt{5}$),
由于A1(-3,0),A2(3,0)
則QA1斜率為k=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
即直線OT為y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x,
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{5}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{3}{\sqrt{2}}}\\{y=±\sqrt{\frac{5}{2}}}\end{array}\right.$,可得T點(diǎn)橫縱坐標(biāo)($\frac{3}{\sqrt{2}}$,$\sqrt{\frac{5}{2}}$)
則由對(duì)稱可知OS=OT=$\sqrt{\frac{9}{2}}+\frac{5}{2}$=$\sqrt{7}$,
則|OS|2+|OT|2=7+7=14,
故答案為:14.
解法二:設(shè)Q(x0,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}+\frac{{y}_{0}^{2}}{5}=1$,y02=$\frac{5}{9}$(9-x02),
設(shè)直線OS,OT的方程分別為:y=k1x,y=k2x,
則${k}_{{A}_{2}Q}$=k1,${k}_{{A}_{1}Q}$=k2
由k1•k2=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$,
則$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$,解得:x12=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$,y12=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$,
同理可知:x22=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$,y22=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$,
由兩點(diǎn)之間的距離公式可知:|OS|2+|OT|2=x12+y12+x22+y22=$\frac{45(1+{k}_{1}^{2})}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45(1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}})}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14,
故答案為:14.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的斜率公式,直線與橢圓相交弦長問題、平行四邊形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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