6.過點C(2,2)作一直線與拋物線y2=4x交于A,B兩點,點P是拋物線y2=4x上到直線l:y=x+2的距離最小的點,直線AP與直線l交于點Q.
(Ⅰ)求點P的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:直線BQ平行于拋物線的對稱軸.

分析 (Ⅰ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),利用點到直線的距離公式通過最小值,求出P點坐標(biāo).
(Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為$({\frac{y_1^2}{4},{y_1}})$,顯然y1≠2.當(dāng)y1=-2時,求出直線AP的方程;當(dāng)y1≠-2時,求出直線AP的方程與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點Q的縱坐標(biāo),求出B點的縱坐標(biāo),推出BQ∥x軸,求出直線AC的方程與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,求得點B的縱坐標(biāo),然后推出結(jié)果BQ∥x軸.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則$y_0^2=4{x_0}$,
所以,點P到直線l的距離$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{y_0^2}{4}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{{{({{y_0}-2})}^2}+4}|}}{{4\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時等號成立,此時P點坐標(biāo)為(1,2).…(4分)
(Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為$({\frac{y_1^2}{4},{y_1}})$,顯然y1≠2.
當(dāng)y1=-2時,A點坐標(biāo)為(1,-2),直線AP的方程為x=1;
當(dāng)y1≠-2時,直線AP的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}({x-1})$,
化簡得4x-(y1+2)y+2y1=0;
綜上,直線AP的方程為4x-(y1+2)y+2y1=0.
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點Q的縱坐標(biāo)為${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$.
當(dāng)$y_1^2=8$時,直線AC的方程為x=2,可得B點的縱坐標(biāo)為yB=-y1
此時${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}=2-\frac{4}{{{y_1}-2}}=2-\frac{{4({{y_1}+2})}}{y_1^2-4}=-{y_1}$,
即知BQ∥x軸,
當(dāng)$y_1^2≠8$時,直線AC的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}({x-2})$,
化簡得$({4{y_1}-8})x-({y_1^2-8})y+({2y_1^2-8{y_1}})=0$,
與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,消去x,
可得$({{y_1}-2}){y^2}-({y_1^2-8})y+({2y_1^2-8{y_1}})=0$,
所以點B的縱坐標(biāo)為${y_B}=\frac{y_1^2-8}{{{y_1}-2}}-{y_1}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$.
從而可得BQ∥x軸,
所以,BQ∥x軸.…(13分)

點評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般,分類與整合等數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
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16.△ABC中,點A(1,2),B(-1,3),C(3,-3).
(1)求AC邊上的高所在直線的方程;
(2)求AB邊上的中線的長度.

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17.已知函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時,g(x)=ln(1-x),函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^3},x≤0\\ g(x),x>0\end{array}\right.$滿足f(2-x2)>f(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。
A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(1,2)D.(-2,1)

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14.在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$(其中t為參數(shù)),現(xiàn)以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.
(Ⅰ)寫出直線l和曲線C的普通方程;
(Ⅱ)已知點P為曲線C上的動點,求P到直線l的距離的最小值.

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1.如圖,A1,A2為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的長軸的左、右端點,O為坐標(biāo)原點,S,Q,T為橢圓上不同于A1,A2的三點,直線QA1,QA2,OS,OT圍成一個平行四邊形OPQR,則|OS|2+|OT|2=14.

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11.某商場進(jìn)行有獎促銷活動,顧客購物每滿500元,可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎,抽獎規(guī)則如下:從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球,摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵,假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨立.
(Ⅰ)若顧客選擇參加一次抽獎,求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率;
(Ⅱ)某顧客已購物1500元,作為商場經(jīng)理,是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金,還是選擇參加3次抽獎?說明理由;
(Ⅲ)若顧客參加10次抽獎,則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵?

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18.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為(  )
A.1B.$\sqrt{2015}-1$C.$\sqrt{2016}-1$D.$\sqrt{2017}-1$

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15.在三角形ABC中,$sinA=\frac{4}{5},cosB=\frac{5}{13}$,則cosC=(  )
A.$\frac{33}{65}$或$\frac{63}{65}$B.$\frac{63}{65}$C.$\frac{33}{65}$D.以上都不對

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16.設(shè)f(x)=5|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$,則使得f(2x+1)>f(x)成立的x取值范圍是(  )
A.(-1,-$\frac{1}{3}$)B.(-3,-1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-$\frac{1}{3}$,+∞)

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同步練習(xí)冊答案