6.若關于x的不等式|x-1|<kx的解集中恰有三個整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{4}$].

分析 由題意求得$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$<x<$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$.由于 $\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$∈(0,1),故這三個整數(shù)分別為1,2,3,結合|x-1|<kx,可得1>k>0,故$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$∈(3,4],由此求得k的范圍.

解答 解:由關于x的不等式|x-1|<kx,可得x2-2x+1<k2x2,即(1-k2)x2-2x+1<0,
由于它的解集中恰有三個整數(shù),∴1-k2>0,△=4-4(1-k2)=4k2>0,∴-1<k<1,且k≠0.
求得$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$<x<$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$.
由于0<1-|k|<1-k2,∴$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$∈(0,1),故這三個整數(shù)分別為1,2,3,
結合|x-1|<kx,可得1>k>0,故$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$=$\frac{1+k}{1{-k}^{2}}$∈(3,4],
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k>3-{3k}^{2}}\\{1+k≤4-{4k}^{2}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{k<-1或k>\frac{2}{3}}\\{-1≤k≤\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,求得 $\frac{2}{3}$<k≤$\frac{3}{4}$,
則實數(shù)k的取值范圍為($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{4}$],
故答案為:($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{4}$].

點評 本題考查學生解含參一元二次不等式的能力,運用一元二次不等式解決數(shù)學問題的能力,屬于中檔題.

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