14.已知圓C:x2+y2-2x-24=0,直線ax-y+5=0(a>0)與圓交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P(-2,4),求三角形ABC的面積.

分析 (Ⅰ)化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心坐標(biāo)和半徑,由圓心到直線的距離小于半徑列式求得a值;
(Ⅱ)求出PC所在直線的斜率,得到AB所在直線的斜率,進(jìn)一步得到AB方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線AB的距離,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:(Ⅰ)依題意可知:直線l:ax-y+5=0(a>0)
與圓C:x2+y2-2x-24=0,即(x-1)2+y2=25有兩個(gè)不同交點(diǎn),
則圓心C(1,0)到直線l的距離d<r(r表示圓C的半徑),
于是有:$d=\frac{{|{a+5}|}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}<r=5$⇒$|{a+5}|<5\sqrt{{a^2}+1}$,
不等式兩邊同時(shí)平方可得:(a+5)2<25(a2+1),
化簡(jiǎn)整理可得:12a2-5a>0(a>0),
解之得:$a>\frac{5}{12}$.
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是$a∈({\frac{5}{12},+∞})$;
(Ⅱ)由垂徑定理知:弦AB的垂直平分線l′過(guò)圓心C(1,0),
又直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,4),
故可得直線l′的斜率${k_{PC}}=\frac{4-0}{-2-1}=-\frac{4}{3}$,
而弦AB所在直線l斜率kAB滿足kAB•kCP=-1,
于是可得:${k_{AB}}=-\frac{1}{{{k_{CP}}}}=\frac{3}{4}$,即有$a={k_{AP}}=\frac{3}{4}$,
從而弦AB所在直線l的方程為$\frac{3}{4}x-y+5=0$,即3x-4y+20=0,
由點(diǎn)到直線的距離公式可得:圓心C(1,0)到直線l的距離為$d=\frac{{|{3×1+20}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{23}{5}$,
根據(jù)垂徑定理:${({\frac{1}{2}|{AB}|})^2}+{d^2}={r^2}$,
得:${|{AB}|^2}=4({{r^2}-{d^2}})=4[{25-{{({\frac{23}{5}})}^2}}]=\frac{384}{25}⇒|{AB}|=\frac{{8\sqrt{6}}}{5}$,
故三角形ABC的面積:${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{6}}}{5}×\frac{23}{5}=\frac{92}{25}\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,著重考查垂徑定理的應(yīng)用,是中檔題.

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